[생생 게임 물리] 기초 물리 - 2

요즘 언리얼 엔진을 쓰다보니 또 좌표계가 헷갈리고 있다.

애초에 기반이 되는 DirectX이냐, OpenGL이냐에 따라 좌표계가 다르기 때문에 그때그때 환경에 따라서 적응해 줘야 한다.

 

각 환경에 따른 좌표계

DirectX는 왼손 좌표계, OpenGL은 오른손 좌표계

언리얼 엔진은 왼손 좌표계(X가 정면, Z가 위),유니티 엔진도 왼손좌표계(Z가 정면, Y가 위)

3D툴들은 왼손 좌표계를 사용한다. Y가 정면이다.

벡터

벡터는 방향과 크기를 포함한 것으로 방향과 크기가 같다면 시작점에 무관하게 같은 벡터이다....반대로 크기만 가진 것은 스칼라라고 한다.

(뭐, 기본적인거고)

 

 

질량 특성

물체를 정의하는 여러가지 특성이 있다.

질량: 물체 안에 물질이 얼마나 있는가.

질량 중심: 물체 내 질량 보호의 균형이 맞는 점. 한 점에 힘을 주어도 회전하지 않는 점.

질량 관성 모멘트: 물체 회전축 주위 지름 방향의 질량 분포. 각운동의 저항, 회전 관성을 의미하기도 함.

 

질량

이제 각각의 특성을 계산하는 과정을 살펴보자.

한 물체 내에 얼마나 많은 물질(입자)이 있냐를 정의한 것이 질량이라고 했다. 

구성입자 하나의 질량은 입자의 질량 밀도(mass density)와 부피를 곱한 값이다.

(반면에 일반적으로 말하는 밀도는 질량/부피)

$$m=\int ρdV=ρ\int dV$$

하지만 실제 물체의 질량은 적분 할만큼 고르지 않기 때문에 이미 알고있는 질량을 사용하거나, 간단히 구할 수 있는 단위로 나누어서 모두 더해 질량을 구한다.

 

질량 중심(무게 중심)

무게 중심이라고도 하며, 물게를 작은 질량소(elemental mass)로 나누어서 계산한다.

이때 각 질량소의 기준축(단면) 1차 모멘트(the first moment about the reference axes)를 구해야 한다.

1차 모멘트는 원점과 질량 중심 사이의 직선 거리와 질량을 곱한 값이다.

이를 이용해서 각 좌표의 1차 모멘트를 구하면 무게 중심의 좌표가 나온다.

$$x_c=(\int{x_o}{dm})/m$$

$$y_c=(\int{y_o}{dm})/m$$

$$z_c=(\int{z_o}{dm})/m$$

이때 m은 전체 질량으로 고르지 않는 물체의 중심좌표는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$${x_c}=(\sum{x_o}{m})/(\sum{m})$$

$${y_c}=(\sum{y_o}{m})/(\sum{m})$$

$${z_c}=(\sum{z_o}{m})/(\sum{m})$$

 

질량 관성모멘트

질량 관성 모멘트를 구하려면 각 질량소의 좌표축별 2차 모멘트까지 구해야한다. 

2차 모멘트는 각 질량소의 무게중심까지의 거리의 제곱과 질량의 곱이다.

이때, 각 질량소의 무게 중심(x,y,z)까지의 거리(r)를 구할 때, 기준 좌표축의 수직이 되는 거리를 구해야 한다.

$${{r_x}^2}={y^2}+{z^2}$$

$${{r_y}^2}={z^2}+{x^2}$$

$${{r_z}^2}={x^2}+{y^2}$$

이를 이용하여 3D좌표축의 질량 관셩 모멘트(I)를 구하는 식은 다음과 같다.

$${I_{xx}}=\int{{r_x}^2}dm=\int({y^2}+{z^2})dm$$

$${I_{yy}}=\int{{r_y}^2}dm=\int({z^2}+{x^2})dm$$

$${I_{zz}}=\int{{r_z}^2}dm=\int({x^2}+{y^2})dm$$

만약 물체의 질량 중심을 통과하는 축(중심축, neutral axis)의 관성모멘트(Io)를 알고 있을 때,

중심축과 나란한 축의 관성 모멘트는 다음과 같다.(질량 m,두 축사이의 거리 d)

$$I={I_o}+m{d^2}$$

이때 중심 축의 관성 모멘트가 매우 작나면 md^2만 신경쓰면 되기 때문에,

축 사이 거리의 제곱에 비례하다고 판단할 수 있다.

또한 그 거리가 0이라면 I=Io가 성립하기 때문에, 중심 축의 관성 모멘트는 관성 모멘트의 최소값이라고 할 수 있다.