[생생 게임 물리] 기초 물리 - 3

나름 물리공부는 열심히 했다고 싶었는데 역시 학교에서 배운걸로는 한계가 있는게 맞나보다.

앞으로 이해하는데에 도움은 되겠지만, 애초에 알려주지 않으면 평생 모르긴 마찬가지지 않나.

천재가 아닌 이상 새로운 걸 발견하고 만들어내긴 무리가 있으니깐.

 

그런 의미에서 뉴턴은 천재가 맞는것 같다.

물론 자연의 이치란 것이 '발명'이 아니라 '발견'에 속하지만,

이를 이해하고 다른 사람도 이해할 수 있도록 증명하고 정립하는 일은 쉬운게 아니니깐.

 

생생 게임 물리 정리 글의 마지막은 이 뉴튼의 운동 제2법칙부터 시작한다.

 

뉴튼의 운동 제2법칙

$$F=ma$$

이미 앞에서도 써먹었고 뒤로도 써먹을 멸치 육수 같은 식이다. 이걸 다른 관점으로 보면 다음과 같다.

$$\frac{F}{m}=a$$

같은 크기의 힘(F)이 작용할 때,좌변의 질량(m)이 커질수록 가속도(a)가 줄어든다는 것인데,

이는 '질량이 커질수록 덜 움직이려고 한다.' 비슷하게는 '더 저항한다'라고 할 수 있다. 뭔가 문과식 말장난 같다.

 

뉴튼의 제2법칙에는 '물체의 가속도 방향 = 물체의 작용하는 합력의 방향'이란 의미도 내포하고 있다.

그래서 사실 F와 a 머리 위에 화살표(→)붙여서 표현한다. 벡터라는 소리다.

힘도 합력을 표현하는 것이기 때문에 다음과 같이 표현하는게 정확하다.

$$\sum{F}=ma$$

3D에서는 각각 힘과 가속도 벡터를 x,y,z로 나누어서 표현하기도 한다.

결국에는 이를 합쳐서 최종 합력과 가속도 벡터가 결정되긴 한다.

$$\sum{F_x}=m{a_x}$$

$$\sum{F_y}=m{a_y}$$

$$\sum{F_z}=m{a_z}$$

$$\sum{F_{sum}}={\sum{F_x}}+{\sum{F_y}}+{\sum{F_z}}$$

또다른 방면으로 제2법칙을 이해하기 전에 먼저 볼것이 있는데, 바로 운동량(momentum)이라는 개념이 있다.

운동량이란 운동이 얼마나 세게 일어났는가를 말한다.(출처:네이버 나름 물리공부는 열심히 했다고 싶었는데 역시 학교에서 배운걸로는 한계가 있는게 맞나보다. 

앞으로 이해하는데에 도움은 되겠지만, 애초에 알려주지 않으면 평생 모르긴 마찬가지지 않나. 

천재가 아닌 이상 새로운 걸 발견하고 만들어내긴 무리가 있으니깐. 

 

그런 의미에서 뉴턴은 천재가 맞는것 같다. 

물론 자연의 이치란 것이 '발명'이 아니라 '발견'에 속하지만, 

이를 이해하고 다른 사람도 이해할 수 있도록 증명하고 정립하는 일은 쉬운게 아니니깐. 

 

생생 게임 물리 정리 글의 마지막은 이 뉴튼의 운동 제2법칙부터 시작한다.

  

뉴튼의 운동 제2법칙

$$F=ma$$ 

이미 앞에서도 써먹었고 뒤로도 써먹을 멸치 육수 같은 식이다. 이걸 다른 관점으로 보면 다음과 같다. 

$$\frac{F}{m}=a$$ 

같은 크기의 힘(F)이 작용할 때,좌변의 질량(m)이 커질수록 가속도(a)가 줄어든다는 것인데, 

이는 '질량이 커질수록 덜 움직이려고 한다.' 비슷하게는 '더 저항한다'라고 할 수 있다. 뭔가 문과식 말장난 같다. 

뉴튼의 제2법칙에는 '물체의 가속도 방향 = 물체의 작용하는 합력의 방향'이란 의미도 내포하고 있다.

그래서 사실 F와 a 머리 위에 화살표(→)붙여서 표현한다. 벡터라는 소리다.

힘도 합력을 표현하는 것이기 때문에 다음과 같이 표현하는게 정확하다.

$$\sum{F}=ma$$

3D에서는 각각 힘과 가속도 벡터를 x,y,z로 나누어서 표현하기도 한다.

결국에는 이를 합쳐서 최종 합력과 가속도 벡터가 결정되긴 한다.

$$\sum{F_x}=m{a_x}$$

$$\sum{F_y}=m{a_y}$$

$$\sum{F_z}=m{a_z}$$

$$\sum{F_{sum}}={\sum{F_x}}+{\sum{F_y}}+{\sum{F_z}}$$ 

또다른 방면으로 제2법칙을 이해하기 전에 먼저 볼것이 있는데, 바로 운동량(momentum)이라는 개념이 있다.

운동량이란 운동이 얼마나 세게 일어났는가를 말한다.'운동량 보존의 법칙'의 그 '운동량'이 맞다.(출처:네이버 지식백과)

운동량은 다음과 같이 표현한다.

$$p=mv$$

보다시피 운동량(p)은 질량(m)과 속도(v)에 비례한다. 여기에도 운동량의 방향은 속도의 방향과 일치한다.

알다시피 속도를 시간으로 미분하면 가속도가 되니 마찬가지로 미분을 해보면,

$$\frac{dp}{dt}={m}{\frac{dv}{dt}}$$

$$\frac{dp}{dt}={m}{a}=\sum{F}$$

정리할 수 있다 카더라.

 

이게 선운동뿐만 아니라 회전 운동에도 적용된다.

$$\sum{M_{cg}}=d/dt(H_{cg})$$

$$M_{cg}=rＸF$$

여기서 X는 외적이다.

물체의 각 운동량(H)은 회천축 운동량 모멘트(M)의 전체 합이다.

여기서 r은 힘(F)의 작용선과 물체의 무게중심과의 수직 거리이다.

여기서 회전축은 물체의 중심을 통과한다고 가정하면, 다음과 같이 표현할 수 있는데,

$$H_{cg}={\sum{r_i}Ｘ{m_i}(ωＸ{r_i})}$$

여기서 i는 입자 하나를 나타내고, ω는 물체의 해당 축 기준 각속도이다. 

w X ri는 입자i의 각 운동량으로 외적 했으니 결과는 벡터이니까, 이 벡터의 크기는 wr이다.

그래서 위 식을 바꿔쓰면,

$$H_{cg}=\int{ωr^2}{dm}$$

질량만큼 나누면 하나의 균등한 입자(i)에 대한 식이라고 생각할 수 있다.

이때 각속도(ω)가 모두 같으면(상수) 다음과 같이 쓸수 있게 된다.

$$H_{cg}=ω\int{r^2}{dm}=Iω$$

굳이 ω를 I 뒤에 쓴 이유를 알겠는가? 

ω가 각'속도'를 의미하니까 시간으로 미분하면 각'가속도'로 표현할 수 있다.

$$d{H_{cg}}/dt = d/dt(Iω)=Idω/dt=Iα$$

이제 살짝 위에 있던 식이 다시 등장한다. 

$$\sum{M_{cg}}=d/dt(H_{cg})=Iα$$

M과 α가 벡터량인 반면, I는 텐서(tensor)이다.(텐서는 일종의 행렬로 이 경우는 2차 텐서로 3x3행렬이다.)

 

좌표 문제

책에선 굳이 제목으로 따료 분류하지는 않아 있지만 조금 따로 정리 해야 할거 같아보여서 분리했다.

왜냐하면 앞에까지는 절대좌표를 기준으로 한거였다. 그런데 3D에서 물체의 각운동방정식을 사용할 때는, 실제론 물체가 어느 위치에서 어느 방향으로 향하는가에 따라 모멘트 양이 달라진다. 종이같은 등방성 물질도 있지만, 실을 가로 세로로 엮인 천같은 물질에 대해서는 당기는 방향에따라 탄성이 다른 비등방성 물질도 있기 때문이다.

그래서 시뮬레이션같은 상황에서 매번 새로 연산해야하기 때문에 계산효율이 떨어진다.

차라리 시뮬레이션을 시작할 때 관성행렬과 역행렬을 한번만 계산하도록, 운동방정식을 상대좌표(그러니까 물체 기준으로) 바꿔쓰는게 좋다.(라고 책에 써있다)

고정 좌표계와 회전 좌표계에서의 벡터V를 시간 미분하면 관계식은 다음과 같다.

$$(dV/dt)_{fixed}=(dV/dt)_{rot}+(ω Ｘ V)$$

이 식을 이용하면 물체 기준 좌표(상대좌표)로 운동 방정식을 바꿀수 있다.

물체의 무게중심 모멘트(M)의 합은 물체의 각운동량(H)의 시간 미분이고, 또 이는 Iω이므로, 이를 위에 식으로 표현하면,

$$M_{cg}=dH_{cg}/dt=I(dω/dt)+(ωＸ(Iω))$$

이 식만 보면 '왜 상대좌표임?'할 수도 있는데, 결과적으로 각속도(ω)와 텐서I 모두 물체 기준의 값들이기 때문에 절대좌표에 있던 벡터V로부터 독립했다고 보는 것이다.(라는 거 같다)

 

관성 텐서

앞에서 텐서(tensor)에 대해 대충 어영부영 넘어갔다. 어차피 뒤에 관성 텐서에 대한 내용이 있으니 여기서 정리해보려고 했다.

텐서는 크기와 방향이 모두 있는 양을 수학적으로 표현한 것(책에서의 표현)으로 '좌표변환하에서 특정한 변환법칙을 따르는 양'이다. 알다시피 크기와 방향을 나타내는 개념으로 '벡터'가 있는데, 이 벡터를 여러 개 모아서 보면 '텐서'가 된다....고 나는 이해했다. 정확히 말하면 이것도 3차원에서 해당하는 2차 텐서에 한한 이야기긴 하다.(그래서 I를 2차 텐서라고 한거다) 그래서 텐서를 벡터의 상위 개념으로 보면 안된다더라. 어디까지나 텐서는 크기와 방향이 존재하는 물리'

량' 이라는 것이다.

0차 텐서는 스칼라, 1차 텐서는 벡터, 2차 텐서는 3x3행렬로 표현한다.

 

본론으로 돌아가 앞에서 관성 행렬I가 어찌 나왔나 보자.

$$H_cg=\int(ωr^2)dm$$

근데 ω가 각속도이고 r이 무게중심으로부터 입자(질량소)중심까지의 거리를 의미하니까 모두 벡터로 표현되는 값이다.

$$ωr^2=rＸωＸr$$

스칼라일때 곱은 결국 벡터에서는 외적이 되는데, 이를 3중 벡터곱이라고 한다.

벡터 r과 ω는 다음과 같이 되는데, 

$$r=xi+yi+zk, ω={ω_x}i+{ω_y}j+{ω_z}k$$

이를 위 식에 대입하고 외적을 전개하면 이렇게 된다.
$$H_{cg}=\int([({y^2}+{z^2}){ω_x}-xy{ω_y}-xz{ω_z}]i$$
$$+[-yx{ω_x}+({z^2}+{x^2}){ω_y}-yz{ω_z}]j$$
$$+[-zx{ω_x}-zy{ω_y}-({x^2}+{y^2}){ω_z}]k)dm$$

(일부러 한줄씩 띄어 쓰긴 해봤는데 예쁘게 보일리나)

이를 행렬I로 정리하면 다음과 같다.

$$\mathbf{X} = \left[\begin{array}
{rrr}
{\int{(y^2+z^2)dm}} & -{\int{(xy)dm}} & -{\int{(xz)dm}} \\
-{\int{(xy)dm}} & {\int{(z^2+x^2)dm}} & -{\int{(yz)dm}} \\
-{\int{(xz)dm}} & -{\int{(yz)dm}} & {\int{(x^2+y^2)dm}}
\end{array}\right]
$$